Основным понятием теории вероятностей является понятие случайных событий. Случайное событие — это событие, которое происходит или не происходит при определенных условиях. Например, попадание или непопадание в определенный объект при стрельбе из определенного оружия является случайным событием.
Если оно неизбежно происходит в результате испытания, то такое событие называется достоверным. Если оно не может произойти в результате испытания, то такое событие называется невозможным.
Случайное событие называется несовместимым в конкретном испытании, если оно не может произойти вместе.
Случайные события составляют полную группу, если они могут произойти в любом испытании и при этом не возникает других несовместимых с ними событий.
Рассмотрим полную группу одинаково несовместимых случайных событий. Такие события называются следствиями или элементарными событиями. Исход называется благоприятным для появления $ a $, если появление этого исхода влечет за собой появление $ a $.
Пример. В тефтере есть восемь пронумерованных шаров (каждый шар имеет номер от 1 до 8). Шары с номерами 1, 2 и 3 — красные, остальные — черные. Появление шара с номером 1 (или с номером 2, или с номером 3) — это событие, благоприятствующее появлению красного шара. Появление шара с номером 4 (или с номерами 5, 6, 7 или 
— это событие, благоприятствующее появлению черного шара.
Вероятность факта $$ a $$ — это отношение $$ m коэффициентов в пользу этого факта и сумма $$ n $$ костей всех равновозможных несовместных основных исходов, образующих полную группу $$ P(a) = frac. quad(1)$$$.
Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице Свойство 2. Вероятность слабого события равна нулю Свойство 3. Вероятность случайного события — это положительное число, ограниченное между нулем и единицей.
Поэтому вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству $ 0 le p(a)Ϯ le 1 $.
Онлайн-калькулятор.
Ряд задач, решаемых с помощью типа (1), относится к задачам с высокими веротяными вероятностями. Ниже по ссылке вы можете найти описание общей задачи и онлайн-калькулятор решения.
Учебник с примерами
Примеры решений для классической вероятности
Пример. В тефере имеется 10 пронумерованных шаров с номерами 1-10. Из теффера вынимают шары. Какова вероятность того, что число вынутых шаров не превышает 10?
РЕШЕНИЕ: Решение находится следующим образом. Пуля в центре сердца — это шар в центре сердца. Пусть факты: a = (число вынутых шаров не превышает 10). Число случаев, благоприятствующих появлению события A, равно m = n = 10, что равно числу всех возможных случаев. Поэтому p(a) = 1. Факт является достоверным.
Пример. В одном самосвале 10 шаров: 6 белых и 4 черных. Выпадает два шара. Какова вероятность того, что оба шара белые?
Решение. Следующим количеством способов можно извлечь два шара из десяти. Между этими двумя шарами будет два белых шара. Запрашиваемые вероятности равны.
Пример. В тефтере 15 шаров: 5 белых и 10 черных. Какова вероятность того, что из теффтера попадется синий шар?
Решение. Так как в Ларнаке нет синих шаров, то m = 0 и n = 15. Следовательно, искомая вероятность p = 0. То, что синие шары вывозятся, невозможно.
Пример. Из колоды в 36 листов вытягивают лист. Какова вероятность того, что выпадет цветной кружочек?
Решение. Число основных исходов (количество карт) равно n = 36. Событие a = (появление листа с цветными кружками). Число случаев, благоприятствующих появлению события a, m = 9. Следовательно.
Пример. В офисе находятся 6 мужчин и 4 женщины. Случайным образом выбираются 7 человек, которые должны пересесть. Среди выбранных людей найдите 3 женщины.
Решение. Общее количество возможных исходов равно количеству способов выбрать 7 человек из 10.
Найдем количество возможных исходов в пользу интересующего нас факта: из 4 способов можно выбрать 3 женщины. Остальные четыре должны быть мужчинами. Таким образом, число благоприятных исходов равно
Решение уравнения для начальной школы
Похожая документация
Как решать линейные алгебраические уравнения: с помощью правила Крамера, таблиц и метода Жордана-Гаусса. Анализ решений задач методом искусственного базиса. 1. характеристика базовых таблиц, состоящих из системы коэффициентов переменных.
Нахождение непосредственных зависимостей между величинами при изучении природных явлений. 3. свойства дифференциальных уравнений. Уравнения верхнего класса, управляемые квадратами. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
Методы решения систем уравнений с двумя переменными. Прямые линии как графики линейных уравнений. Использование методов обмена и сложения при решении линейных уравнений с двумя переменными. 3. решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
Линейные уравнения с параметрами. Методы и способы решения систем с неизвестными параметрами (обмен, метод сложения уравнений и графики). Определение алгоритмов действий. 4. нахождение значений параметров, при которых уравнение определяет корень уравнения.
Дифференциальные уравнения Риккати. Решения линейных уравнений общего вида. Нахождение всех возможных решений дифференциальных уравнений Бернулли. Решение уравнений в переменных с делителем. Общие и частные решения дифференциальных уравнений Клеро.
Решение систем уравнений по типу Крамера и по методу Гаусса. Нахождение объема пирамиды, площади поверхности и величины векторной проекции с помощью инструментов векторной алгебры. Примеры определения и решения уравнений для одной стороны, высоты и треугольников.
Определение понятия уравнений с параметрами. Принципы решения этих уравнений в общем случае. 8. решение уравнений с параметрами, связанных со свойствами экспоненциальных, логарифмических и тригонометрических функций. 9. 9 примеров решения уравнений.
Абсолютные величины и их свойства. Простейшие уравнения и единичные неравенства. Графическое решение уравнений и неравенств с единицами измерения. Другие методы решения этих уравнений. Методы раскрытия единиц измерения. Использование тождеств при решении уравнений.
Сведения из истории математики о решении уравнений. Практическое применение методов решения уравнений и неравенств, основанных на использовании свойств функций. Исследование уравнений в действительном интервале осей. Подавление корней уравнений.
Уравнения с отдельными переменными, методы решения. Практические примеры нахождения частных и общих решений. Понятия о неполных дифференциальных уравнениях. Линейные уравнения первого класса. Методы изменения постоянной разделения переменных.
Описание методов решения линейных алгебраических уравнений: обратные таблицы, Якоби, Гаусса-Седеля. Формулировка и решение интерференционных задач. Подбор полиномиальной зависимости методом наименьших квадратов. Свойства релаксационных методов.
Общие свойства параболических дифференциальных уравнений на примере уравнений термообработки. Основное определение и геометрия конечных разностей. Решение дифференциальных параболических уравнений методами сеток или конечных разностей.
История возникновения уравнений, понятие их решения и виды упрощения. Анализ решения ряда занимательных задач с помощью уравнений. Обработка уравнений аль-Хорезми в качестве рычагов. Параметры и переменные, область определения и корни.
Тангенциальный метод (метод Ньютона), свойства этого процесса и процедуры решения нелинейных уравнений. Механизмы интерференции и численного интегрирования. Приближенное решение обычных уравнений первого рода методом Эйлера.
Как получить общее решение уравнения Бернулли. Примеры решения задач с использованием. Специальные решения уравнения Бернулли и его сингулярности. Понятие дифференциальных уравнений, их виды и свойства. Значение уравнения Бернулли в математике и физике.
Уравнение Фредгольма и его свойства как типичный пример тотального уравнения с определенными ограничениями на интегрирование, его форма и ранг, порядок формирования и решения. Некоторые приложения тотального уравнения. Общая форма квадратичного метода.
Порядок и принципы построения дифференциальных уравнений, способы нахождения неизвестных цен. Замена исходного дифференциального уравнения системой N неизвестных n-линейных уравнений. Формирование и решение систем уравнений.
Решение корней, включая двучленные, симметричные и кубические. Решение уравнений четвертой степени методом понижения оценки и разложения на множители. Реализация бинома Ньютона. Графический метод решения уравнений высшей степени.
Определение таблиц, решение систем уравнений методом Гаусса и типа Крамера. Определение параметров треугольника, графическое построение. 20. задача на приведение уравнения второй кривой к нормальному виду и его структура.
Изучение нестандартных методов решения математических задач. Анализ функциональных методов, методов треугольной подстановки и методов, основанных на применении арифметических неравенств. Решение симметричных уравнений.
Основные тригонометрические уравнения и методы их решения. Знакомство со вспомогательными аргументами. Графики тригонометрических уравнений. Преобразование и завершение групп общих тригонометрических уравнений. Разложение на множители.
Выполнение действий над таблицами. Определение обратных таблиц. Решение таблиц по таблицам и систем уравнений с помощью таблиц с алгебраическими дополнениями. 22. Исследование и решение линейных уравнений методами Крамера и Гаусса.
Гетероморфные уравнения, их сущность и особенности, методология, понятие этапов решения. Великая теорема Ферма и порядок ее доказательства. Алгоритмы решения иррациональных уравнений. Как находить пифагоровы тройки. Свойства решения уравнений Каталана.
Получение приближенного решения с помощью ряда (до пяти элементов ряда) с точными решениями методом рук, методами операторов, заданных пространств и графических решений. Методы Эйлера и Рунге-Кутты в отношении и абсолютной погрешности.
Типовые методы решения уравнений и неравенств. Алгоритмы решения уравнений с использованием параметров. Области определения уравнений. Решение неравенств с параметрами. Влияние параметров на результат. Разрешающие значения переменных. Пересечения графов.
Файловые задания красиво оформлены в соответствии с требованиями университета и включают изображения, диаграммы и типы. Файлы PPT, PPTX и PDF могут быть только в файле. Мы рекомендуем вам скачать задание и оценить его, нажав на нужную звезду.
Классическое определение вероятности
Теория вероятностей — это область математики, которая занимается изучением математических моделей случайных экспериментов, то есть экспериментов, результаты которых не известны априори.
Например, одним из наиболее часто используемых случайных экспериментов в теории вероятностей является бросание игральных костей. Результатом этого случайного эксперимента является количество выпавших очков.
Помните, что игральные кости — это кубики из однородного материала, стороны которых пронумерованы, а числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6 — это точки, обозначенные на гранях кубика.
Совокупность всех возможных исходов случайного эксперимента называется серией элементарных событий. Это множество обычно обозначается заглавной греческой буквой Ω. Элементы целого Ω называются элементарными событиями.
Элементарные события часто называют элементарными исходами или простыми исходами, а совокупность всех элементарных событий — пространством элементарных событий, серией элементарных исходов или пространством элементарных исходов.
В теории вероятностей случайные события — это подмножество всех базовых исходов Ω. Например, в классическом определении вероятности одно событие — это подмножество всех элементарных событий Ω.
Для простоты случайное событие часто называют событием.
Классическое определение вероятности
Классическое определение вероятности используется, когда случайный эксперимент может привести к одному из многих равновозможных вариантов.
Классическое определение вероятности является основой теории вероятностей и вводится по следующей схеме
А поскольку числитель правой части уравнения (1) не превышает знаменателя, вероятность каждого случайного события A лежит в пределах
ПРИМЕЧАНИЯ. При вычислении вероятности события A элементарные события, входящие в событие A, называются благоприятными исходами, а уравнение (1) записывается в следующем виде
Примеры решения задач
Пример 1. Эксперимент состоит из одного броска игральных костей. Описана схема, которая вводит в этот эксперимент классическое определение вероятности.
Решение. Пусть o обозначаетkтот факт, что при бросании костей выпадает число k. Тогда основной факт
| ω1 , ω2 , ω3 , ω4 , ω5 , ω6 | (5) |
Составьте базовое множество фактов Ω.
| Ω = 1 , ω2 , ω3 , ω4 , ω5 , ω6 >. | (6) |
Поскольку множество Ω состоит из шести элементов, вероятность каждого элементарного события равна
Каждое случайное событие является подмножеством множества Ω и состоит из множества элементарных событий. Например, случайное событие
состоит из трех основных событий
Пример 2. Эксперимент состоит из одного броска валюты. Чтобы ввести классическое определение вероятности для этого эксперимента, поясните схему.
Решение. Пусть русские буквы Г и Ч и обозначим их базовым событием, состоящим в том, что в процессе бросания валюты выпадает соответственно корона (Г) или цифра (Ч). Тогда.
Пример 3. Найти вероятность того, что при простом бросании двух игральных костей сумма выброшенных чисел будет больше 8.
Решение. Сформируем следующую таблицу. Здесь содержится сумма всех возможных чисел, выпавших между двумя костями. В первой строке таблицы указаны числа, выпавшие при бросании первой кости, а в первом столбце — числа, выпавшие при бросании второй кости. На пересечении строк и столбцов находится сумма чисел, отнесенных к двум костям.
В этой таблице все возможные результаты эксперимента представлены в 36 ячейках. При этом в 10 ячейках, отмеченных на панели желтым цветом, результаты превышают 8. Следовательно, требуемая вероятность
Пособие по математике для студентов
Теоремы вероятности, общие и несовместимые события
Прежде чем перейти к теореме утверждения, необходимо дать определение.
Общие события — это такие события, появление одного из которых не отменяет появления другого. Несовместимые события — такие события, одно из которых однозначно исключает другое.
Если есть два события A и B, то объединение случаев, когда A происходит отдельно, будет показано в то же время, когда B происходит отдельно, а A и B показаны в одно и то же время.
Множество событий A1, A2 … Если существует AP, хотя бы одно из которых является суммой многих событий — A1+A2+… +A1+A2+… называется AP.
Если известны возможности этих событий по отдельности, то считаем необходимым найти два несовместных события A, B и возможность появления одного или обоих из них одновременно.
Дополнительные теоремы для несовместимых событий
Независимо ни от чего, вероятность наступления одного из двух несовместимых событий равна сумме их вероятностей.
Пусть m — число основных исходов эксперимента, n1 — исход, соответствующий событию A, и n2 — исход, соответствующий событию B. Тогда общее число исходов, соответствующих наступлению либо A, либо B, равно сумме n1. + n2. Тогда, исходя из определения вероятности, можно записать следующее преобразование
Однако, зная, что выражения n1/m=P(A) и n2/m=P(B), получаем следующий результат
При рассмотрении нескольких попарно несовместимых событий вероятность наступления любого из них, а также вероятность наступления некоторых из них в различных комбинациях равна сумме их индивидуальных вероятностей.
Предположим, есть три события A, B и C. Согласно формулировке, наступление события C как одного из трех событий, содержащих A и B по отдельности, эквивалентно наступлению этого события, поскольку они несовместимы попарно. C — одно из двух событий, второе — A+B. Это означает, что, согласно теореме об аддитивности, мы можем записать
Теперь проделаем то же самое, анализируя вероятность A+B. Согласно теореме сложения, имеем
Чтобы доказать истинность заключения для большого числа попарно несовместимых фактов, используется математическая индукция.
Теорема сложения для любого события
Для двух кумулятивных событий их вероятности можно определить, сложив вероятности каждого события в отдельности и вычтя вероятность того, что события A и B произойдут одновременно.
Пусть m — общее число исходов эксперимента. Тогда все исходы, соответствующие событию A, обозначим чере з-n1. Исход, соответствующий событию B, — n2. Исход, если оба события A и B происходят одновременно, — n3.
Видно, что n1+n2-n3 — это все основные результаты эксперимента, соответствующие событиям A+B. Определив таким образом факты, мы получаем следующую нотацию.
Если n3=0, то рассматриваемые события не происходят одновременно, поэтому они несовместимы и случай возвращается к теореме об аддитивности, описанной ранее.
Стрелок производит выстрел в мишень. Мишень разделена на три части. Вероятность попадания в первую часть равна 0,25. Вероятность попадания во вторую часть равна 0,35. Какова вероятность того, что лучник достигнет цели? Чтобы выполнить это условие, шар должен атаковать первую часть, даже если она называется B и ее вероятность p(b) = 0. 35, даже если это b(a) = 0. 25 или вторая часть. Поскольку события A и B не являются общими, к несовместимым событиям можно применить дополнительные теоремы. Получается следующее уравнение
p = p(a+b) = p(a) + p(b) = 0. 25+0. 35 = 0. 55 — это и есть искомая вероятность.
Предупреждение: file_put_contents (. / desution_count. txt): открыт поток: /var/www/www/webmath-q2ws/data/www/webmath. ru/poleznoe/guide_content_banner. php
Мы уже помогли 4, 445 школьникам и студентам с проблемами с хорошими дипломатическими работами! Узнайте стоимость работы за 15 минут!
Классическая задача о разноцветном шаре возникает в теории вероятностей в разных представлениях. Предположим, есть две коробки. В одной из них находится один белый и пять черных шаров. В другой — восемь белых и четыре черных шара. Теперь вы достаете из каждой коробки по шару. Вам нужно найти вероятность того, что шары разные.
Возьмите вероятность того, что при a из первой коробки достанут белый шар.
Аналогично запишите для второй коробки. Если из нее выпадет белый шар, то это факт b, и его вероятность равна
Если рассмотреть противоположное событие, то это когда во второй коробке появляется черный шар. Вероятность его появления можно записать как
Чтобы удовлетворить условие, о котором идет речь, должно произойти одно из двух событий. Первое — это извлечение белого шара из первой коробки и извлечение черного шара из второй коробки. Второй факт — показать черный шар из первой коробки и белый шар из второй коробки. Эти события можно описать как $ a overline $ и $ overlineb $. Вероятности каждого из них следующие.
Они вычисляются с помощью теоремы умножения, описанной в другом разделе, поэтому здесь мы просто оставим вычисления в прежнем виде и перейдем непосредственно к применению дополнительной теоремы. Нас интересует, как именно она применяется. Таким образом, требуемая в задаче вероятность относится к сумме двух событий.
Я думаю, что вероятность получить из двух коробок шары разного цвета равна p = 0,61.